(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.(1)证明:∠PBC=90°;(2)若
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(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.(1)证明:∠PBC=90°;(2)若
题型:不详
难度:
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(本小题满分12分)如图,已知四棱锥P-ABCD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°.
(1)证明:∠PBC=90°;
(2)若PB=3,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
答案
(1)取AD中点O,连OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,
又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,∵PB
平面POB,
∴BC⊥PB,即∠PBC=90°.
(2)如图,
以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0),B(0,
,0),C(-1,
,0),由PO=BO=
,PB=3,得∠POB=120°,∴∠POz=30°,∴P(0,-
,
),则
=(-1,
,0),
=(-1,0,0),
=(0,
,-
),设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),则
,取z=
,则n=(0,1,
),
设直线AB与平面PBC所成的角为θ,则sinθ=|cos〈
,n〉|=
.
解析
本试题主要是考查了四棱锥中线面角的求解以及线面的垂直性质定理的运用。
(1)因为取AD中点O,连OP、OB,由已知得:OP⊥AD,OB⊥AD,
又OP∩OB=O,∴AD⊥平面POB,∵BC∥AD,∴BC⊥平面POB,这样可得到结论。
(2)建立空间直角坐标系,然后设出法向量坐标,利用向量的夹角公式得到结论。
举一反三
(本题满分12分)
如图,四棱锥
的侧面
垂直于底面
,
,
,
,
在棱
上,
是
的中点,二面角
为
(1)求
的值;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,直角坐标系
所在的平面为
,直角坐标系
所在的平面为
,且二面角
的大小等于
.已知
内的曲线
的方程是
,则曲线
在
内的射影的曲线方程是________ .
题型:不详
难度:
|
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(12分)如图,已知三棱锥
的侧棱
两两垂直,且
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)求异面直线
与
所成角的余弦值;
(Ⅱ)BE和平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知棱长为a的正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
,E为BC中点.
(1)求B到平面B
1
ED距离
(2)求直线DC和平面B
1
ED所成角的正弦值. (12分)
题型:不详
难度:
|
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(本题满分14分)
如图, 在直三棱柱
中,
,
,
.
(1)求证:
;
(2)问:是否在
线段上存在一点
,使得
平面
?
若存在,请证明;若不存在,请说明理由。
题型:不详
难度:
|
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