解法一:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系设AB=a, 则A1(0,0,2a),C(0,a,0),C1(0,a,2a),D(a,0,a)(2分) 于是=(a,-a,-a),=(0,a,-2a) ∵cos<,>===,(6分) ∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos(7分) (Ⅱ)∵=(a,0,-a),=(0,a,0), ∴•=a2+0-a2=0,•=0(10分) 则⊥,⊥ ∴A1D⊥平面ACD(12分) 又A1D⊂平面A1CD, ∴平面A1DC⊥平面ADC(14分) 解法二: (Ⅰ)连接AC1交A1C于点E,取AD中点F,连接EF,则EF∥C1D ∴直线EF与A1C所成的角就是异面直线C1D与A1C所成的角(2分) 设AB=a, 则C1D==a, A1C==a,AD==a. △CEF中,CE=A1C=a,EF=C1D=a, 直三棱柱中,∠BAC=90°,则AD⊥AC(4分) CF===a(4分) ∵cos∠CEF===,(6分) ∴异面直线C1D与A1C所成的角为arccos(7分) (Ⅱ)直三棱柱中,∠BAC=90°,∴AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥A1D(9分) 又AD=a,A1D=a,AA1=2a, 则AD2+A1D2=AA12,于是AD⊥A1D(12分) ∴A1D⊥平面ACD又A1D⊂平面A1CD, ∴平面A1DC⊥平面ADC(14分) |