如图，边长为2的正方形ABCD外有一点P，且PA=PB=PC=PD=2中，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EBD；（2）求异面直线PA与BE所成的角的余弦

题型：不详难度：来源：

如图，边长为2的正方形ABCD外有一点P，且PA=PB=PC=PD=2中，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面EBD；
（2）求异面直线PA与BE所成的角的余弦值．

答案

（1）取BD中点O，连接OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=OC．
又PE=EC，
∴OE∥PA．
又AP⊄平面EBD，OE⊂平面EBD．
∴PA∥平面EBD；
（2）由（1）可知：PA∥EO，
∴∠OEB是异面直线PA与BE所成的角．
∵正方形ABCD的边长为2，且PA=PB=PC=PD=2，E为PC的中点．
∴OB=

1

2

BD=

1

2

×2

2

=

2

，EB=

3

，
在Rt△OBE中，OE=

EB2-OB2

=1．
∴cos∠OEB=

OE

EB

=

3

3

．