如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为______.

如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为______.

题型:不详难度:来源:
如图所示,点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为______.
答案
如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在线为y轴,DP所在线为z轴,建立空间坐标系,
∵点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,令PD=AD=1
∴A(1,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,0,0)


PA
=(1,0,-1),


BD
=(-1,-1,0)
∴cosθ=


PA


BD
|


PA
|×|


BD
|
=
-1


2
×


2
=-
1
2

故两向量夹角的余弦值为
1
2
,即两直线PA与BD所成角的度数为60°.
故答案为:60°
举一反三
在三棱锥A-BCD中,AD=BC=2a,E、F分别是AB、CD的中点,EF=


3
a,求AD与BC所成的角.
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,AA1=2,∠ACB=90°,M是A1B1的中点.
(1)求证:C1M⊥平面ABB1A1
(2)求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值.
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如图,四面体ABCD中,O.E分别为BD.BC的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=


2

(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值.
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点
(1)证明:AD⊥D1F;
(2)求AE与D1F所成的角;
(3)证明:面AED⊥面A1FD1
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已知A、B、C是球O的球面上三点,∠BAC=90°,AB=2,BC=4,球O的表面积为48π,则异面直线AB与OC所成角余弦值为______.
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