在正四面体ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，则AE与CF所成角的余弦值为（　　）A．-23B．23C．-13D．13

题型：不详难度：来源：

在正四面体ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，则AE与CF所成角的余弦值为（　　）

A．- 2 3

B． 2 3

C．- 1 3

D． 1 3

答案

如图所示，作AO⊥底面BCD，垂足为O，O为底面等边△BCD的中心，建立空间直角坐标系．
不妨取CD=2．则C（1，

3

3

，0），D(-1，

3

3

，0)，B(0，-

2 3

3

，0)，
E(

1

2

，-

3

6

，0)，
设点M是线段CD的中点，则AM=

3

，OM=

1

3

，BM=

3

3

．
∴AO=

(AM)2-(OM)2

=

( 3 )2-( 3 3 )2

=

2 6

3

．
∴A(0，0，

2 6

3

)．
∴F(-

1

2

，

3

6

，

6

3

)，
∴

AE

=(

1

2

，-

3

6

，-

2 6

3

)，

CF

=(-

3

2

，-

3

6

，

6

3

)．
∴cos＜

AE

，

CF

＞=

AE • CF

| AE || CF |

=

- 3 4 + 1 12 - 4 3

3 × 3

=-

2

3

．
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为

2

3

．
故选：B．