如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE

题型：不详难度：来源：

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

答案

（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴

EB

=(2，-1，0)，

AC

=(0，2，-1)
∴COS＜＜

EB

，

AC

＞＞=

-2

5 •  5

=-

2

5

                …（5分）
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为

2

5

…（6分）
（2）设平面ABC的法向量为

n1

=(x，y，z) 则

n1

⊥

AB

知

n1

•

AB

=2x-z=0

n1

⊥

AC

知

n1

•

AC

=2y-z=0取

n1

=(1，1，2)，…（8分）
则sin＜

EB

，

n1

＞=

30

30

…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为

30

30

…（12分）