如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小
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如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=π4,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小
题型:安徽
难度:
来源:
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=
π
4
,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离.
答案
解(Ⅰ)∵CD
∥
AB,∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角).
作AP⊥CD于点P,连接MP.
∵OA⊥平面ABCD,∴CD⊥MP.
∵
∠ADP=
π
4
,∴
DP=
2
2
.
∵
MD=
M
A
2
+A
D
2
=
2
,
∴
cos∠MDP=
DP
MD
=
1
2
,
∠MDC=∠MDP=
π
3
.
所以,异面直线AB与MD所成的角为
π
3
.
(Ⅱ)∵AB
∥
平面OCD,所以点B和点A到平面OCD的距离相等.
连接OP,过点A作AQ⊥OP于点Q.
∵AP⊥CD,OA⊥CD,∴CD⊥平面OAP,∴AQ⊥CD.
又∵AQ⊥OP,∴AQ⊥平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.
∵
OP=
O
D
2
-D
P
2
=
O
A
2
+A
D
2
-D
P
2
=
3
2
2
,
AP=PD=
2
2
,
∴
AQ=
OA•AP
OP
=
2×
2
2
3
2
2
=
2
3
.
所以,点B到平面OCD的距离为
2
3
.
举一反三
如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是A
1
B
1
和BB
1
的中点,那么直线AM和CN所成角的余弦值为______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,异面直线CD
1
和BC
1
所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.90°
D.120°
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA
1
=AB=2,AD=1,E、F、G分别是DD
1
、AB、CC
1
的中点,则异面直线A
1
E与GF所成的角是( )
A.arccos
15
5
B.
π
4
C.arccos
10
5
D.
π
2
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是正方形ADD
1
A
1
和ABCD的中心,G是CC
1
的中点,设GF,C
1
E与AB所成的角分别为α,β,则α+β=______.
题型:不详
难度:
|
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CD=
2
,则线段AD的长为______.
题型:不详
难度:
|
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