在三棱锥M-ABC中,CM⊥平面ABC,MA=MB,NA=NB=NC.(Ⅰ)求证:AM⊥BC;(Ⅱ)若∠AMB=60°,求直线AM与CN所成的角.
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在三棱锥M-ABC中,CM⊥平面ABC,MA=MB,NA=NB=NC.(Ⅰ)求证:AM⊥BC;(Ⅱ)若∠AMB=60°,求直线AM与CN所成的角.
题型:青岛一模
难度:
来源:
在三棱锥M-ABC中,CM⊥平面ABC,MA=MB,NA=NB=NC.
(Ⅰ)求证:AM⊥BC;
(Ⅱ)若∠AMB=60°,求直线AM与CN所成的角.
答案
证明:(I)∵NA=NB=NC,
∴N是△ABC外接圆的圆心,可得∠ACB=90°,即BC⊥AC…(2分)
∵CM⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
∴MC⊥BC…(4分)
∴BC⊥面MAC
∴BC⊥MA…(6分)
(II)取MB的中点P,连结CP,NP,
则NP
∥
AM,所以∠PNC是直线AM与CN所成的角,…(8分)
令AN=NB=NC=1,
∴AM=2,NP=1,CP=
1
2
MB=1
在△CPN中,CP=NP=CN=1…(10分)
∴∠PNC=60°…(12分)
举一反三
如图,长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α,B∈β,
且AB与平面α、β所成的角都是30°,AC⊥l,垂足为C,BD⊥l,垂足为D.
(Ⅰ)求直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值.
题型:广州一模
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,与AD
1
异面,且与AD
1
所成角为60°的面对角线共有______条.
题型:上海模拟
难度:
|
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在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是A
1
B
1
和B
1
B的中点.
(1)求直线AM和CN所成角的大小;
(2)若P为B
1
C
1
的中点,求证:B
1
D⊥平面PMN;
(3)求点A到平面PMN的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
,底面边长与侧棱长的比为
2
:1,则直线AB
1
与CA
1
所成的角为______°.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M为的棱BB
1
的中点,则异面直线AM与BD
1
所成角的余弦值是( )
A.
10
15
B.
15
10
C.
10
10
D.
15
15
题型:不详
难度:
|
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