如图,长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α,B∈β,且AB与平面α、β所成的角都是30°,AC⊥l,垂足为C,BD⊥l,垂足为D.(Ⅰ
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如图,长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α,B∈β,且AB与平面α、β所成的角都是30°,AC⊥l,垂足为C,BD⊥l,垂足为D.(Ⅰ
题型:广州一模
难度:
来源:
如图,长度为2的线段AB夹在直二面角α-l-β的两个半平面内,A∈α,B∈β,
且AB与平面α、β所成的角都是30°,AC⊥l,垂足为C,BD⊥l,垂足为D.
(Ⅰ)求直线AB与CD所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D所成平面角的余弦值.
答案
(Ⅰ)如图所示,连接BC,设直线AB与CD所成的角为θ,则由AC⊥β知:cosθ=cos∠ABC•cos∠DCB=
cos30°•
2
3
=
2
2
,
故θ=45°;
(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),
A(0,
2
,1)
,B(1,0,0),
C(0,
2
,0)
,
所以
CA
=(0,0,1)
,
CB
=(1,-
2
,0)
,设
n
1
=(x,y,z)
是平面ABC的法向量,则
CA
•
n
1
=z=0
CB
•
n
1
=x-
2
y=0
⇒
可以取
n
1
=(
2
,1,0)
.
同理,
n
2
=(0,1,-
2
)
是平面ABD的法向量.
设二面角C-AB-D所成的平面角为γ,则显然γ是锐角,从而有
cosγ=|
n
1
•
n
2
|
n
1
|•|
n
2
|
|=
1
3
×
3
=
1
3
.
举一反三
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,与AD
1
异面,且与AD
1
所成角为60°的面对角线共有______条.
题型:上海模拟
难度:
|
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在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是A
1
B
1
和B
1
B的中点.
(1)求直线AM和CN所成角的大小;
(2)若P为B
1
C
1
的中点,求证:B
1
D⊥平面PMN;
(3)求点A到平面PMN的距离.
题型:不详
难度:
|
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已知正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
,底面边长与侧棱长的比为
2
:1,则直线AB
1
与CA
1
所成的角为______°.
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M为的棱BB
1
的中点,则异面直线AM与BD
1
所成角的余弦值是( )
A.
10
15
B.
15
10
C.
10
10
D.
15
15
题型:不详
难度:
|
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(理科)在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,AC′为对角线,M、N分别为BB′,B′C′中点,P为线段MN中点.
(1)求DP和平面ABCD所成的角的正切;
(2)求DP和AC′所成角.
题型:武汉模拟
难度:
|
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