如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上,BC∥OA,OC=AB,tan ∠BAO=,点B的坐标为(7,4)。(1)求点A、
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如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上,BC∥OA,OC=AB,tan ∠BAO=,点B的坐标为(7,4)。(1)求点A、
题型:四川省中考真题
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如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形OABC的下底边OA在x轴的正半轴上,BC∥OA,OC=AB,tan ∠BAO=
,点B的坐标为(7,4)。
(1)求点A、C的坐标;
(2)求经过点O、B、C的抛物线的解析式;
(3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P,使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由。
答案
解:(1)过点G作CE⊥x轴于E,过点B作BD⊥x轴于D,如图,
∵点B的坐标为(7,4),
∴BD=4,OD=7,
∵
∴AD=3,
∴AO=10,A(10,0),
又∵梯形OABC是等腰梯形,OE=AD=3,
∴C(3,4);
(2)设过点O、B、C的抛物线的解析式为y=ax
2
+bx+c(a≠0),
由O(0,0)、B(7,4)、C(3,4),
得:
,
解得:
,
∴抛物线的解析式为
;
(3)∵EO=AD=3,OA=10,
∴BC=DE=4,
∴梯形的面积为
,
过点C与等腰梯形一腰平行的直线把梯形分成面积为16的平行四边形和面积为12的三角形,因此与梯形一腰平行且把梯形分成面积相等的两部分的直线一定与边BC交于异于点C 的一点,
①若过点P的直线平行于OC,过点P作PM∥OC,分别与OA、BC相交于M、N,则平行四边形OMNC的面积等于梯形面积的一半,S
=OM·CE=14,
∴
,
∴
∵点P在抛物线
上,
设点
(x>0)则
∠PMA=∠COA,
∴
,
解得:
(舍去),x
2
∴点P的横坐标为
;
②若过点P的直线平行于AB,
∵
的对称轴为x=5,由对称性可得点P的横坐标为
,
综上所述,在抛物线上存在一点P,使得经过点P且与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分,点P的横坐标为
或
。
举一反三
如图(1),在平面直角坐标系中,O为坐标原点,边长为5的正三角形OAB的OA边在x轴的正半轴上,点C、D同时从点O出发,点C以1个单位长/秒的速度向点A运动,点D以2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动,设运动时间为t秒,0<t<5。
(1)当
时,求证:DC⊥OA;
(2)若△OCD的面积为S,求S与f的函数关系式;
(3)以点C为中心,将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E,若以D、C、E、D为顶点的四边形是梯形,求点E的坐标。
题型:湖北省中考真题
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一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0),B(m+2,0)两点,记抛物线顶点为C,且AC⊥BC。
(1)若m为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点,是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由。
题型:湖北省中考真题
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如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=60°,BC=24,点P是BC边上的动点(点P与点B、C不重合),过动点P作PD∥BA交AC于点D。
(1)若△ABC与△DPA相似,则∠APD是多少度?
(2)试问:当PC等于多少时,△APD的面积最大?最大面积是多少?
(3)若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切,求线段BP的长。
参考公式:函数y=ax
2
+bx+c(a、b、c为常数,n≠0)图象的顶点坐标是:
题型:广东省中考真题
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如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(-1,0)、
,0(0,0),将此三角板绕原点O顺时针旋转90°,得到△A′B′O。
(1)如图,一抛物线经过点A、B、B′,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB′的面积达到最大时点P的坐标及面积的最大值。
题型:安徽省中考真题
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如图,二次函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴相交于点C,连接AC、BC,A、C两点的坐标分别为A(-3,0)、C)(0,
),且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等。
(1)求实数a、b、c的值;
(2)若点M、M同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动,当运动时间为t秒时,连接MN,将△BMA沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B、N、Q为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由。
题型:湖南省中考真题
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