(Ⅰ)证明:如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),A1(0,0,2), B1(2,0,2),C1(0,4,2),D(1,0,10),…(2分) 则=(1,0,2),=(1,-4,0) 设平面B1DC的法向量为=(x,y,z),则,即 取y=1,得=(4,1,-2),…(3分) ∵=(0,4,2), ∴•=0, ∴⊥, ∴AC1∥平面B1DC;.…(4分) (Ⅱ)设平面BDC的法向量=(0,0,1),二面角B1-DC-B的大小为θ, 则cosθ=|cos<,>=||==, 所以二面角B1-DC-B的余弦值为.…(8分) (Ⅲ)假设线段A1C1上存在点E(0,y,2),(0<y<4),则=(0,y-4,2),…(9分) ∵|cos<,>|=||,…(10分) ∴cos60°=, 整理得5y2-40y+36=0,∴y=4± ∵0<y<4,∴y=4-,…(12分) ∴=(0,-,2), ∴||==.…(13分) |