(I)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角, 又∵二面角B-AO-C是直二面角, ∴CO⊥BO, 又∵AO∩BO=O, ∴CO⊥平面AOB, 又CO⊂平面COD, ∴平面COD⊥平面AOB.(4分) (II)解法一:作DE⊥OB,垂足为E,连接CE(如图),则DE∥AO, ∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角. 在 Rt△COE中,CO=BO=2,OE=BO=1, ∴CE==. 又DE=AO=. ∴CD==2 ∴在Rt△CDE中,cos∠CDE===. ∴异面直线AO与CD所成角的余弦值大小为.(9分)
解法二:建立空间直角坐标系O-xyz,如图, 则O(0,0,0),A(0,0,2),C(2,0,0),D(0,1,), ∴=(0,0,2),=(-2,1,), ∴cos<,>===. ∴异面直线AO与CD所成角的余弦值为.(9分) (III)由(I)知,CO⊥平面AOB, ∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角, 且tanCDO==.当OD最小时,∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,OD==,tanCDO=, ∴CD与平面AOB所成角的最大时的正切值为.(14分) |