如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2.（I）求证：AO⊥平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成

题型：福建难度：来源：

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

.
（I）求证：AO⊥平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．

答案

（I）证明：连接OC


∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

.
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90^o，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（II）以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（-1，0，0），C(0，

3

，0)，A(0，0，1)，E(

1

2

，

3

2

，0)，

BA

=(-1，0，1)，

CD

=(-1，-

3

，0).
∴cos＜

BA

，

CD

＞=

BA . CD

| BA || CD |

=

2

4

，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos

2

4

.
（III）设平面ACD的法向量为

n

=(x，y，z)，


则

n . AD =(x，y，z)．(-1，0，-1)=0 n . AC =(x，y，z)．(0 3 ，-1)=0

∴

x+z=0 3 y-z=0.

令y=1，得

n

=(-

3

，1，

3

)是平面ACD的一个法向量．
又

EC

=(-

1

2

，

3

2

，0)，
∴点E到平面ACD的距离h=

| EC . n |

| n |

=

3

7

=

21

7

.