如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1和A1B1的中点.(1)求异面直线AE和BF所成角的余弦值;(2)求平面BDD1与平面BFC1所
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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1和A1B1的中点.(1)求异面直线AE和BF所成角的余弦值;(2)求平面BDD1与平面BFC1所
题型:不详
难度:
来源:
如图,在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是A
1
D
1
和A
1
B
1
的中点.
(1)求异面直线AE和BF所成角的余弦值;
(2)求平面BDD
1
与平面BFC
1
所成二面角的正弦值.
答案
以A为坐标原点,AB,AD,AA
1
分别为X,Y,Z轴正方向,建立空间坐标系,
设正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2,
则A(0,0,0),B(2,0,0),E(0,1,2),F(1,0,2),C
1
(2,2,2)
(1)则
AE
=(0,1,2),
BF
=(-1,0,2)
设异面直线AE和BF所成角为θ
则cosθ=
|
AE
•
BF
|
AE
|•|
BF
|
|
=
4
5
即异面直线AE和BF所成角的余弦值为
4
5
(2)∵
AB
=(2,0,0)为平面BDD
1
的一个法向量,
设向量
n
=(x,y,z)
为平面BFC
1
的一个法向量
则
n
•
BF
=0
n
•
BC
1
=0
,即
-x+2z=0
2y+2z=0
令z=1,则向量
n
=(2,-1,1)
为平面BFC
1
的一个法向量
∵cos
<
n
,
AB
>
=
n
•
AB
|
n
|•|
AB
|
=
6
3
∴sin
<
n
,
AB
>
=
3
3
∴平面BDD
1
与平面BFC
1
所成二面角的正弦值为
3
3
举一反三
直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA
1
,则异面直线BA
1
与AC
1
所成的角等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:不详
难度:
|
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在直角梯形ABCD中,AB
∥
CD,∠DAB=∠ADC=
π
2
、AB=AD=2CD=4,作MN
∥
AB,连接AC交MN于P,现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角
(I)若M为AD中点时,求异面直线MN与AC所成角;
(Ⅱ)证明:当MN在直角梯形内保持MN
∥
AB作平行移动时,折后所成∠APC大小不变;
(Ⅲ)当点M在怎样的位置时,点M到面ACD的距离最大?并求出这个最大值.
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′D与AC所成的角是( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中.
(I)求异面直线BD与B
1
C所成的角;
(Ⅱ)求证平面ACB
1
⊥平面B
1
D
1
DB.
题型:不详
难度:
|
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四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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