在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ADC=π2、AB=AD=2CD=4,作MN∥AB,连接AC交MN于P,现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角(I
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在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=∠ADC=π2、AB=AD=2CD=4,作MN∥AB,连接AC交MN于P,现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角(I
题型:不详
难度:
来源:
在直角梯形ABCD中,AB
∥
CD,∠DAB=∠ADC=
π
2
、AB=AD=2CD=4,作MN
∥
AB,连接AC交MN于P,现沿MN将直角梯形ABCD折成直二面角
(I)若M为AD中点时,求异面直线MN与AC所成角;
(Ⅱ)证明:当MN在直角梯形内保持MN
∥
AB作平行移动时,折后所成∠APC大小不变;
(Ⅲ)当点M在怎样的位置时,点M到面ACD的距离最大?并求出这个最大值.
答案
(I)由题意,MN
∥
DC,DC⊥平面ADM,则∠ACD为异面直线MN与AC所成角
∵DM=AM=2,DM⊥AM
∴AD=
2
2
∴tan∠ACD=
2
∴∠ACD=arctan
2
;
(II)证明:设MP=a,则AM=2a,DM=4-2a,
∴AP=
5
a,PC=
(2-a)
2
+
(4-2a)
2
=
5
a
2
-20a+20
,AC=
4
a
2
+
(4-2a)
2
+4
=
8
a
2
-16a+20
∴cos∠APC=
5
a
2
+5
a
2
-20a+20-8
a
2
+16a-20
2
5
a•
5
(2-a)
=-
1
5
为定值,
∴MN在直角梯形内保持MN
∥
AB作平行移动时,折后所成∠APC大小不变;
(Ⅲ)由题意,平面ACD⊥平面AMD,则过M作ME⊥AD,ME⊥平面ACD,
∴ME为点M到面ACD的距离
由(II)知,ME=
2a(4-2a)
(2a
)
2
+(4-2a
)
2
=
2a(2-a)
2a(a-2)+4
令t=2a(2-a),则1≥t>0,ME=
t
t+4
=
1
1
t
+
4
t
2
=
1
4(
1
t
+
1
8
)
2
-
1
16
∴t=1时,ME取得最大值
5
5
,此时M是AD的中点.
举一反三
正方体ABCD-A′B′C′D′中异面直线A′D与AC所成的角是( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.90°
题型:不详
难度:
|
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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中.
(I)求异面直线BD与B
1
C所成的角;
(Ⅱ)求证平面ACB
1
⊥平面B
1
D
1
DB.
题型:不详
难度:
|
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四面体S-ABC中,各个侧面都是边长为a的正三角形,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是BB
1
、CD的中点.
(1)证明:BC⊥AE
(2)求AE与D
1
F所成的角;
(3)设AA
1
=1,求点F到平面DBB
1
D
1
的距离.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=AB,E为PD 的中点,O为AC与BD的交点;
①求证:PB
∥
平面EAC;
②求异面直线BC与PD所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
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