在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=3,且AD⊥BC,对角线BD=132,AC=32,AC和BD所成的角是( )A.π3B.π4C.π2D.π12
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在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=3,且AD⊥BC,对角线BD=132,AC=32,AC和BD所成的角是( )A.π3B.π4C.π2D.π12
题型:不详
难度:
来源:
在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=
3
,且AD⊥BC,对角线BD=
13
2
,AC=
3
2
,AC和BD所成的角是( )
A.
π
3
B.
π
4
C.
π
2
D.
π
12
答案
分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I,
连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中,GE是中位线,∴GE
∥
BD且GE=
1
2
BD
同理可得FI
∥
BD且FI=
1
2
BD
∴GE
∥
FI且GE=FI,得四边形EGFI是平行四边形
∵FG
∥
AC,GE
∥
BD
∴∠FGE(或其补角)是异面直线AC和BD所成的角
同理可得∠GHI(或其补角)是异面直线AD和BC所成的角
∵AD⊥BC,∴∠GHI=90°
∵GH=
1
2
BC=
3
2
,HI=
1
2
AD=
1
2
,∴GI=
G
H
2
+H
I
2
=1
∵平行四边形EGFI中,FI=GE=
1
2
BD=
3
4
,FG=EI=
1
2
AC=
13
4
∴EF
2
+GI
2
=2(EI
2
+FI
2
),得EF
2
+1=2(
13
16
+
3
16
),解得EF=1
因此,GF
2
+GE
2
=1=EF
2
,可得∠FGE=
π
2
∴异面直线AC和BD所成的角为
π
2
故选:C
举一反三
如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE、DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥以后,GH与IJ所成角的度数为( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.0°
题型:北京
难度:
|
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已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为______.
题型:不详
难度:
|
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已知异面直线a、b成60°角,过空间一点p,与a、b也都成60°角的直线,可以作( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
题型:不详
难度:
|
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若a,b,l是两两异面的直线,a与b所成的角是
π
3
,l与a、l与b所成的角都是α,则α的取值范围是( )
A.[
π
6
,
5π
6
]
B.[
π
3
,
π
2
]
C.[
π
3
,
5π
6
]
D.[
π
6
,
π
2
]
题型:不详
难度:
|
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已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为( )
A.90
B.45
C.60
D.30
题型:不详
难度:
|
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