如图所示,在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角的大小.

如图所示,在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角的大小.

题型:同步题难度:来源:
如图所示,在空间四边形ABCD中,已知AD=1,BC=,且AD⊥BC,对角线BD=,AC=,求AC和BD所成的角的大小.
答案
解:如图所示,分别取AD,CD,AB,DB的中点E,F,G,H,
连结EF,FH,HG,GE,GF,
则由三角形中位线定理知EF∥AC且EF=
GE∥BD且GE=
GH∥AD,GH=
HF∥BC,HF=
从而可知GE与EF所成的锐角(或直角)即为AC和BD所成的角,
GH和HF所成的锐角(或直角)即为AD与BC所成的角,
∵AD⊥BC,
∴∠GHF=90°,
∴GF2=GH2+HF2=1,
在△EFG中,EG2+EF2=1=GF2
∴∠GEF=90°,即AC与BD所成的角为90°。
举一反三
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点,
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(2)证明:平面ABM⊥平面A1B1M。
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,AB=AD=2CD=2,侧面PAD⊥底面ABCD,且△PAD为等腰直角三角形,∠APD=90°,M为AP的中点,
(Ⅰ)求证:DM∥平面PCB;
(Ⅱ)求直线AD与PB所成角;
(Ⅲ)求三棱锥P-MBD的体积.

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如图1,已知点P在矩形ABCD边DC上,AB=2,BC=1,点F在AB上且DF⊥AP,垂足为E,将△ADP沿AP折起,使点D位于点D"位置,连接D"B,D"C得四棱锥D"-ABCP(如图2)。
(1)求D"F与AP所成角的大小;
(2)若二面角D"-AP-B和D"F与平面ABCP所成角的大小均为,求四棱锥D"-ABCP的体积。
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如图所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为
[     ]
A.60°
B.90°
C.105°
D.75°
题型:专项题难度:| 查看答案
已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点,则A1D与EF所成角的大小为(    ),A1F与平面B1EB所成角的余弦为(    )。
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