在如图所示的多面体中,四边形为正方形,四边形是直角梯形,,平面,.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
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在如图所示的多面体中,四边形为正方形,四边形是直角梯形,,平面,.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
在如图所示的多面体中,四边形
为正方形,四边形
是直角梯形,
,
平面
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求平面
与平面
所成的锐二面角的大小.
答案
(1)证明见解析;(2)
.
解析
试题分析:本题中由于垂直关系较多,由题意易得
两两相互垂直,因此可以他们分别为
轴建立空间直角坐标系,若设
,则
,
,
,
,
,
这样第(1)题证明线面垂直,计算出
,就能证得结论;而第(2)题只要求出平面
和平面
的法向量,这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补,其中平面
是坐标平面
平面,其法向量可取
,从而只要再求一个法向量即可.当然如果不用空间向量,也可直接证明,第(1)题只要用平面几何知识在直角梯形
中证得
,又有
,线面垂直易得,为此取
中点
,可得
是正方形,
,接着可得
,正好辅助线
就是所求二面角的棱,可证
就是平面角,这个角是
.
试题解析:(1)由已知,
,
,
两两垂直,可以
为原点,
、
、
所在直线分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系. (1分)
设
,则
,
,
,
,
故
,
,
, (3分)
因为
,
,故
,
,
即
,
, (5分)
所以,
平面
. (6分)
(2)因为
平面
,所以可取平面
的一个法向量
为
, (1分)
点
的坐标为
,则
,
,(2分)
设平面
的一个法向量为
,则
,
,
故
即
取
,则
,
故
. (5分)
设
与
的夹角为
,则
. (7分)
所以,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
. (8分)
解法二:
(1)因为
平面
,所以
, (1分)
作
,
为垂足,则四边形
是正方形,设
,则
,
,
又
,所以
是
的中点,
,所以
,
所以
,所以
. (5分)
所以,
平面
. (6分)
(2)连结
,由(1)知
,又
,所以
平面
,(2分)
所以
,所以
为所求二面角的平面角. (4分)
因为△
是等腰直角三角形,所以
. (7分)
所以,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
. (8分)
举一反三
已知三棱柱
的侧棱
在下底面的射影
与
平行,若
与底面所成角为
,且
,则
的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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已知下列命题:
①设m为直线,
为平面,且m
,则“m//
”是“
”的充要条件;
②
的展开式中含x
3
的项的系数为60;
③设随机变量
~N(0,1),若P(
≥2)=p,则P(-2<
<0)=
;
④若不等式|x+3|+|x-2|≥2m+1恒成立,则m的取值范围是(
,2);
⑤已知奇函数
满足
,且0<x<
时
,则函数
在[
,
]上有5个零点.
其中真命题的序号是
(写出全部真命题的序号).
题型:不详
难度:
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如图,四边形ABCD是菱形,四边形MADN是矩形,平面MADN
平面ABCD,E,F分别为MA,DC的中点,求证:
(1)EF//平面MNCB;
(2)平面MAC
平面BND.
题型:不详
难度:
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设m、n是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面,则
A.若m//
,n//
,则m//n
B.若m//
,m//
,则
//
C.若m//n,m
,则n
D.若m//
,
,则m
题型:不详
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下列命题中,错误的是( ).
A.过平面
外一点可以作无数条直线与平面
平行
B.与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行
C.若直线
垂直平面
内的两条相交直线,则直线
必垂直平面
D.垂直于同一个平面的两条直线平行
题型:不详
难度:
|
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