在空间四边形ABCD中,已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证:AB⊥CD.
题型:不详难度:来源:
在空间四边形ABCD中,已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证:AB⊥CD. |
答案
见解析 |
解析
过A点作AO垂直平面BCD于O,连结BO,CO,DO. ∵AO⊥平面BCD,∴AO⊥BD. 又AC⊥BD,∴BD⊥平面AOC,∴CO⊥BD. 同理,DO⊥BC,∴O为△BCD的垂心,∴BO⊥CD. 又AO⊥平面BCD,∴AO⊥CD, ∴CD⊥平面ABO,∴AB⊥CD. |
举一反三
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.若E、F分别为PC、BD的中点,求证:
(1)EF∥平面PAD; (2)EF⊥平面PDC. |
设a、b为不重合的两条直线,α、β为不重合的两个平面,给出下列命题: ①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若a⊥α且b⊥α,则a∥b;③若a∥α且a∥β,则α∥β;④若a⊥α且a⊥β,则α∥β.其中为真命题的是________.(填序号) |
已知α、β、γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γβ⊥γ”是真命题,如果把α、β、γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题的个数是________. |
a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题: ① a∥b;② a∥b;③ α∥β; ④ α∥β;⑤ α∥a;⑥ a∥α. 其中正确的命题是________.(填序号) |
如图,在四棱锥PABCD中,M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点,O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点.求证:过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行.
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