在空间四边形ABCD中，已知AC⊥BD,AD⊥BC,求证：AB⊥CD.

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答案

见解析

解析

过A点作AO垂直平面BCD于O，连结BO,CO,DO.
∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD.
又AC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴CO⊥BD.
同理，DO⊥BC，∴O为△BCD的垂心，∴BO⊥CD.
又AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，
∴CD⊥平面ABO，∴AB⊥CD.

举一反三

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝

AD.若E、F分别为PC、BD的中点，求证：

(1)EF∥平面PAD；
(2)EF⊥平面PDC.

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设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③若a∥α且a∥β，则α∥β；④若a⊥α且a⊥β，则α∥β.其中为真命题的是________．(填序号)

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已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ

β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题的个数是________．

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a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题：
①

a∥b；②

a∥b；③

α∥β；
④

α∥β；⑤

α∥a；⑥

a∥α.
其中正确的命题是________．(填序号)

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如图，在四棱锥PABCD中，M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点．求证：过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行．

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