如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.若E、F分别为PC、BD的中点,求证:(1)EF∥平面PAD;
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如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD.若E、F分别为PC、BD的中点,求证:(1)EF∥平面PAD;
题型:不详
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如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=
AD.若E、F分别为PC、BD的中点,求证:
(1)EF∥平面PAD;
(2)EF⊥平面PDC.
答案
(1)见解析(2)见解析
解析
(1)连结AC,则F是AC的中点,在△CPA中,EF∥PA,且PA
平面PAD,EF
平面PAD,∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,又CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PA.
又PA=PD=
AD,∴△PAD是等腰直角三角形,且∠APD=
,即PA⊥PD,而CD∩PD=D,
∴PA⊥平面PDC.又EF∥PA,∴EF⊥平面PDC.
举一反三
设a、b为不重合的两条直线,α、β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若a⊥α且b⊥α,则a∥b;③若a∥α且a∥β,则α∥β;④若a⊥α且a⊥β,则α∥β.其中为真命题的是________.(填序号)
题型:不详
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已知α、β、γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ
β⊥γ”是真命题,如果把α、β、γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题的个数是________.
题型:不详
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a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合平面,现给出六个命题:
①
a∥b;②
a∥b;③
α∥β;
④
α∥β;⑤
α∥a;⑥
a∥α.
其中正确的命题是________.(填序号)
题型:不详
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如图,在四棱锥PABCD中,M、N分别是侧棱PA和底面BC边的中点,O是底面平行四边形ABCD的对角线AC的中点.求证:过O、M、N三点的平面与侧面PCD平行.
题型:不详
难度:
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在直四棱柱ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是菱形.求证:平面B
1
AC∥平面DC
1
A
1
.
题型:不详
难度:
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