如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点.(1)证明:BD⊥EC1;(2)如果AB=2,
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如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1是正方形,O是BD的中点,E是棱AA1上任意一点.(1)证明:BD⊥EC1;(2)如果AB=2,
题型:不详
难度:
来源:
如图,在长方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面
A
1
B
1
C
1
D
1
是正方形,
O
是
BD
的中点,
E
是棱
AA
1
上任意一点.
(1)证明:
BD
⊥
EC
1
;
(2)如果
AB
=2,
AE
=
,
OE
⊥
EC
1
,求
AA
1
的长.
答案
(1)见解析(2)3
解析
(1)连接
AC
,
A
1
C
1
.由底面是正方形知,
BD
⊥
AC
.
因为
AA
1
⊥平面
ABCD
,
BD
⊂平面
ABCD
,所以
AA
1
⊥
BD
.
又
AA
1
∩
AC
=
A
,所以
BD
⊥平面
AA
1
C
1
C
.
因为
EC
1
⊂平面
AA
1
C
1
C
知,
BD
⊥
EC
1
.
(2)设
AA
1
的长为
h
,连结
OC
1
.
在Rt△
OAE
中,
AE
=
,
AO
=
,
故
OE
2
=(
)
2
+(
)
2
=4.
在Rt△
EA
1
C
1
中,
A
1
E
=
h
-
,
A
1
C
1
=2
,
故
E
=(
h
-
)
2
+(2
)
2
.
在Rt△
OCC
1
中,
OC
=
,
CC
1
=
h
,
O
=
h
2
+(
)
2
.
因为
OE
⊥
EC
1
,所以
OE
2
+
E
=
O
,即
4+(
h
-
)
2
+(2
)
2
=
h
2
+(
)
2
,
解得
h
=3
,所以
AA
1
的长为3
.
举一反三
如图,
AB
是圆的直径,
PA
垂直圆所在的平面,
C
是圆上的点.
(1)求证:平面
PAC
⊥平面
PBC
;
(2)若
AB
=2,
AC
=1,
PA
=1,求二面角
C
-
PB
-
A
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知两条直线
a
,
b
与两个平面
α
,
β
,
b
⊥
α
,则下列命题中正确的是( ).
①若
a
∥
α
,则
a
⊥
b
;②若
a
⊥
b
,则
a
∥
α
;③若
b
⊥
β
,则
α
∥
β
;④若
α
⊥
β
,则
b
∥
β
.
A.①③
B.②④
C.①④
D.②③
题型:不详
难度:
|
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已知
α
,
β
,
γ
是三个不重合的平面,
a
,
b
是两条不重合的直线,有下列三个条件:①
a
∥
γ
,
b
⊂
β
;②
a
∥
γ
,
b
∥
β
;③
b
∥
β
,
a
⊂
γ
.如果命题“
α
∩
β
=
a
,
b
⊂
γ
,且________,那么
a
∥
b
”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( ).
A.①或②
B.②或③
C.①或③
D.只有②
题型:不详
难度:
|
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已知两条不同的直线
m
,
n
和两个不同的平面
α
,
β
,给出下列四个命题:
①若
m
∥
α
,
n
∥
β
,且
α
∥
β
,则
m
∥
n
;②若
m
∥
α
,
n
⊥
β
,且
α
⊥
β
,则
m
∥
n
;③若
m
⊥
α
,
n
∥
β
,且
α
∥
β
,则
m
⊥
n
;④若
m
⊥
α
,
n
⊥
β
,且
α
⊥
β
,则
m
⊥
n
.其中正确的个数有( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图所示,在四边形
A-BCD
中,
AD
∥
BC
,
AD
=
AB
,∠
BCD
=45°,∠
BAD
=90°,将△
ABD
沿
BD
折起,使平面
ABD
⊥平面
BCD
,构成三棱锥
A
BCD
,则在三棱锥
ABCD
中,下列命题正确的是( ).
A.平面
ABD
⊥平面
ABC
B.平面
ADC
⊥平面
BDC
C.平面
ABC
⊥平面
BDC
D.平面
ADC
⊥平面
ABC
题型:不详
难度:
|
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