试题分析:解法一:如图建立空间直角坐标系,
(1)由条件知 1分 由面⊥面ABC,AA1⊥A1C,AA1=A1C,知 2分
∵ ……………3分 ∴与不垂直,即AA1与BC不垂直, ∴AA1与平面A1BC不垂直……5分 (2)由ACC1A1为平行四边形, 知==…7分 设平面BB1C1C的法向量, 由 令,则 9分 另外,平面ABC的法向量(0,0,1) 10分
所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分 解法二:(1)取AC中点D,连结A1D,则A1D⊥AC.
又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直,交线为AC, ∵A1D⊥面ABC ∴A1D⊥BC. 2分 假设AA1与平面A1BC垂直,则AA1⊥BC. 又A1D⊥BC,由线面垂直的判定定理, BC⊥面A1AC,所以BC⊥AC,这样在△ABC中 有两个直角,与三角形内角和定理矛盾.假设不 成立,所以AA1不与平面A1BC垂直 5分 (2)侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角. 过点C作A1C1的垂线CE于E,则CE⊥面A1B1C1,B1C1⊥CE. 过点E作B1C1的垂线EF于F,连结CF. 因为B1C1⊥EF,B1C1⊥CE,所以B1C1⊥面EFC,B1C1⊥CF 所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角 9分 由得 在Rt△EFC中,cos∠ 所以,侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分 点评:主要是考查了空间中线面垂直以及二面角平面角的大小的求解,运用向量法来求解,属于常规试题。 |