已知三棱锥的底面是直角三角形，且，平面，，是线段的中点，如图所示.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

题型：不详难度：来源：

已知三棱锥的底面是直角三角形，且，平面，，是线段的中点，如图所示.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

答案

（1）证明线面垂直一般通过线线垂直来证明线面垂直，关键是对于的证明。
（2）

解析

试题分析：（Ⅰ）证明：因为，D是线段PC的中点，所以 （1）
因为，，所以平面 可得    （2）
由（1）（2）得平面                            （6）
（Ⅱ）因为点是线段的中点，所以点到平面的距离等于点到平面的距离的一半。因此                         （9）
而，又，且，
所以   即得即三棱锥的体积为.       12分
点评：解决关键是利用线面垂直的判定定理来证明垂直，同时利用的等体积法来求解 锥体的体积，属于基础题。