如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二,在二面角中.(1
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如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30o的二面角,如图二,在二面角中.(1
题型:不详
难度:
来源:
如图一,△ABC是正三角形,△ABD是等腰直角三角形,AB=BD=2。将△ABD沿边AB折起, 使得△ABD与△ABC成30
o
的二面角
,如图二,在二面角
中.
(1) 求D、C之间的距离;
(2) 求CD与面ABC所成的角的大小;
(3) 求证:对于AD上任意点H,CH不与面ABD垂直。
答案
(1)|CD|=
=
;
(2)
=
; (3) CH不与面ABD垂直。
解析
试题分析:依题意,
ABD=90
o
,建立如图的坐标系使得△ABC在yoz平面上,
△ABD与△ABC成30
o
的二面角,
DBY=30
o
,又AB=BD=2,
A(0,0,2),B(0,0,0),
C(0,
,1),D(1,
,0),
(1)|CD|=
=
……… 5分
(2)
x轴与面ABC垂直,故(1,0,0)是面ABC的一个法向量。
设CD与面ABC成的角为
,而
= (1,0,-1),
sin
=
=
[0,
],
=
; 8分
(3) 设
=t
= t(1,
,-2)= (t,
t,-2 t),
=
+
=(0,-
,1) +(t,
t,-2 t) = (t,
t-
,-2 t+1),
若
,则 (t,
t-
,-2 t+1)·(0,0,2)="0" 得t=
, 10分
此时
=(
,-
,0),
而
=(1,
,0),
·
=
-
=-1
0,
和
不垂直,
即CH不可能同时垂直BD和BA,即CH不与面ABD垂直。 12分
点评:典型题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,利用向量则能简化证明过程。本题利用空间向量,简化了证明过程,但对计算能力要求较高。
举一反三
已知四面体OABC中,OA、OB、OC两两相互垂直,
,
,D为四面体OABC外一点.给出下列命题:①不存在点D,使四面体ABCD有三个面是直角三角形;②不存在点D,使四面体ABCD是正三棱锥;③存在点D,使CD与AB垂直并相等;④存在无数个点D,使点O在四面体ABCD的外接球面上.则其中正确命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.③④
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分12分)如图,直角梯形
与等腰直角三角形
所在的平面互相垂直.
∥
,
,
,
.
(1)求直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)线段
上是否存在点
,使
// 平面
?若存在,求出
;若不存在,说明理由.1
题型:不详
难度:
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设
是直线,
是两个不同的平面,下列命题成立的是( )
A.若
,则
B.若
∥
,则
C.若
∥
,
, 则
∥
D.若
∥
,
∥
,则
∥
题型:不详
难度:
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如图,在三棱锥P-ABC中, AB="AC=4," D、E、F分别为PA、PC、BC的中点, BE="3," 平面PBC⊥平面ABC, BE⊥DF.
(Ⅰ)求证:BE⊥平面PAF;
(Ⅱ)求直线AB与平面PAF所成的角.
题型:不详
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设
是平面
内的一条定直线,
是平面
外的一个定点,动直线
经过点
且与
成
角,则直线
与平面
的交点
的轨迹是
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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