如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD =12 BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点.(1)
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD =12 BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点.(1)
题型:不详
难度:
来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD∥BC,CD=13,AB=12,BC=10,AD =12 BC. 点E、F分别是棱PB、边CD的中点.(1)求证:AB⊥面PAD; (2)求证:EF∥面PAD
答案
(1)要证明线面垂直,关键是要通过线线垂直的证明,结合判定定理来得到,关键点 一步是
AD
⊥
AB
.
(2)要证明线面平行,关键是要通过线线平行的证明,结合判定定理来得到,通过做适当的辅助线,结合三角形的中位线平移,得到
EF
∥
DQ
.
解析
试题分析:证明:(1)因为
PD
⊥面
ABCD
,
所以
PD
⊥
AB
. 2分
在平面
ABCD
中,
D
作
DM
//
AB
,则由
AB
=12得
DM
=12.又
BC
=10,
AD
=
BC
,则
AD
=5,从而
CM
=5.
于是在△
CDM
中,
CD
=13,
DM
=12,
CM=
5,则
由
及勾股定理逆定理得
DM
⊥
BC
.
又
DM
//
AB
,
BC
//
AD
,所以
AD
⊥
AB
.
又
PD
∩
AD
=
D
,所以
AB
⊥面
PAD
. 6分
(2)[证法一] 取
AB
的中点
N
,连结
EN
、
FN
.
因为点
E
是棱
PB
的中点,所以在△
ABP
中,
EN
//
PA
.
又
PA
Ì面
PAD
,所以
EN
//面
PAD
. 8分
因为点
F
分别是边
CD
的中点,所以在梯形
ABCD
中,
FN
//
AD
.
又
AD
Ì面
PAD
,所以
FN
//面
PAD
. 10分
又
EN
∩
FN
=
N
,
PA
∩
DA
=
A
,所以面
EFN
//面
PAD
. 12分
又
EF
Ì面
EFN
,则
EF
//面
PAD
. 14分
[证法二] 延长
CD
,
BA
交于点
G
.
连接
PG
,
EG
,
EG
与
PA
交于点
Q.
由题设
AD
∥
BC
,且
AD
=
BC
,所以
CD
=
DG
,
BA
=
AG
,即点
A
为
BG
的中点.
又因为点
E
为棱
PB
的中点,所以
EA
为△
BPG
的中位线,即
EA
∥
PG
,且
EA
:
PG
=1:2,故有
EA
:
PG
=
EQ
:
QG
=1:2. 10分
又
F
是边
CD
的中点,并由
CD
=
DG
,则有
FD
:
DG
=1:2. 12分
在△
GFE
中,由于
EQ
:
QG
=1:2,
FD
:
DG
=1:2,所以
EF
∥
DQ
.
又
EF
Ë面
PAD
,而
DQ
Ì面
PAD
,所以
EF
∥面
PAD
. 14分
点评:解决该试题的关键是熟练的结合线面平行和垂直的判定定理,找到线线的平行和垂直关系,属于基础题。
举一反三
如图,在直三棱柱
ABC
-
A
1
B
1
C
1
中,∠
BAC
=90°,
AB
=
AC
=2,
AA
1
=6,点
E
、
F
分别在棱
BB
1
、
CC
1
上,且
BE
=
BB
1
,
C
1
F
=
CC
1
.
(1)求异面直线
AE
与
A
1
F
所成角的大小;
(2)求平面
AEF
与平面
ABC
所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知在四棱锥
中,
,
,
,
分别是
的中点.
(Ⅰ)求证
;
(Ⅱ)求证
;
(Ⅲ)若
,求二面角
的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四边形
中,对角线
于
,
,
为
的重心,过点
的直线
分别交
于
且
‖
,沿
将
折起,沿
将
折起,
正好重合于
.
(Ⅰ) 求证:平面
平面
;
(Ⅱ)求平面
与平面
夹角的大小.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知四棱锥
的底面为等腰梯形,
∥
,
,垂足为
,
是四棱锥的高。
(Ⅰ)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)若
,
60°,求四棱锥
的体积。
题型:不详
难度:
|
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如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内,且平面ABCD ⊥平面DCEF,M,N分别为AB,DF的中点。
(1)求直线MN与平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求异面直线ME与BN所成角的余弦值。
题型:不详
难度:
|
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