试题分析:(Ⅰ)取AB的中点G,连结CG,则, 又,可得,所以, 所以,CG=,故CD= ……2分 取CD的中点为F,BC的中点为H,因为,,所以为平行四边形,得,………………………………4分
平面 ∴ 存在F为CD中点,DF=时,使得……6分 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则、、 、,从而, ,。 设为平面的法向量,
则可以取 ……………………8分 设为平面的法向量, 则取 ……10分 因此,,…………11分 故二面角的余弦值为……………12分 点评:求解和证明立体几何问题一方面可以直接利用几何方法,通过证明或找到线面之间的关系,依据判定定理或性质进行证明求解.但是本法的难在证明线面关系,难在作角、找角.空间向量方法是证明垂直、平行、求角的好方法,因其避开了“做,找”,所以其应用的难度大大的降低了.利用空间向量法证明垂直,即证明向量的数量积等于0;若求二面角则通过两个半平面的法向量的夹角进行求解判断。 |