已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD; (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;(Ⅲ)求点P到平面QA

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已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.

(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角;
(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.

答案

（Ⅰ）由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，得到PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）.(Ⅲ) .

解析

试题分析：（Ⅰ）连结AC、BD，设.
由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.
从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD.
（Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，，0）.
所以


于是.
从而异面直线AQ与PB所成的角是.
(Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－，0），， 
，设是平面QAD的一个法向量，由

得.
取x=1，得.
所以点P到平面QAD的距离.
点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。本题解法较多，特别是求角及距离时，运用了“向量法”，实现了问题的有效转化。对考生计算能力要求较高