如图1,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,E是BD上的一个动点,现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,如图2所示.(1
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如图1,在平行四边形ABCD中,AB=1,BD=,∠ABD=90°,E是BD上的一个动点,现将该平行四边形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,如图2所示.(1
题型:不详
难度:
来源:
如图1,在平行四边形
ABCD
中,
AB
=1,
BD
=
,∠
ABD
=90°,
E
是
BD
上的一个动点,现将该平行四边形沿对角线
BD
折成直二面角
A
-
BD
-
C
,如图2所示.
(1)若
F
、
G
分别是
AD
、
BC
的中点,且
AB
∥平面
EFG
,求证:
CD
∥平面
EFG
;
(2)当图1中
AE
+
EC
最小时,求图2中二面角
A
-
EC
-
B
的大小.
答案
(1)只需证CD//EG;(2)60°。
解析
试题分析:(1)证明(略) 4分
(2)由图1可知,当
AE
+
EC
最小时,
E
是
BD
的中点
∵平面
ABD
⊥平面
BCD
,
AB
⊥
BD
,∴
AB
⊥面
BCD
.
故以
B
为坐标原点,平行于
CD
的直线为
x
轴,
BD
所在的直线为
y
轴,
AB
所在的直线为
z
轴,建立
如图所示空间直角坐标系
B
-
xyz
.
则
A
(0,0,1),
C
(1,
,0),
D
(0
,0),
E
(0,
,0)
=(0,-
,1),
=(1,
,0)
设平面
AEC
的一个法向量为
n
1
=(
x
,
y
,
z
)
则
Þ
解得
x
=-
z
,
y
=
z
∴平面
AEC
的一个法向量为
n
1
=(-1,
,1)
而平面
BCE
的一个法向量为
n
2
=(0,0,1)
∴
cos
<
n
1
,
n
2
> =
10"
显然,二面角
A
-
EC
-
B
为锐角,所以,二面角
A
-
EC
-
B
的大小为60°. 12分
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
举一反三
如图,在三棱锥
中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知
垂直平行四边形
所在平面,若
,则平行四边形
一定是
(填形状)
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥
中,
,
,
为
中点,
为
中点,且
为正三角形.
(1)求证:
平面
.
(2)求证:平面
⊥平面
.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
的长轴为
,短轴为
,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得
点在平面
上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为( ).
A.75°
B.60°
C.45°
D.30°
题型:不详
难度:
|
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如图,在正方体
中,
、
分别是
、
的中点,则异面直线
与
所成角的大小是__________.
题型:不详
难度:
|
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