如图,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点.(1)求证
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如图,直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A1C1∩B1D1=O1,E是O1A的中点.(1)求证
题型:不详
难度:
来源:
如图,直四棱柱ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的高为3,底面是边长为4且∠DAB=60°的菱形,AC∩BD=0,A
1
C
1
∩B
1
D
1
=O
1
,E是O
1
A的中点.
(1)求证:平面O
1
AC
平面O
1
BD
(2)求二面角O
1
-BC-D的大小;
(3)求点E到平面O
1
BC的距离.
答案
(1)只需证BD⊥面O
1
AC即可;(2)
;(3)
。
解析
试题分析:(1)证明:∵ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是直四棱柱,∴AA
1
⊥面AC,又BD⊂面AC,所以AA
1
⊥BD. 又∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∵AA
1
∩AC=A
所以BD⊥面AA
1
C。
即BD⊥面O
1
AC,又BD⊂面O
1
BD,
所以平面O
1
AC⊥平面O
1
BD.
(2)解:过O作OH⊥BC于H,连接O
1
H,则∠O
1
HO为二面角O
1
-BC-D的平面角.
在Rt△BHO中,OB=2,∠OBH=60°,∴OH=
又O
1
O∥A
1
A,∴O
1
O⊥OH.∴tan∠O
1
OH=
.故二面角O
1
-BC-D的大小为
.
(3)因为E为AO
1
的中点,所以OE//O
1
C,所以E到面O
1
BC的距离等于O到面O
1
BC的距离,根据等积法
即可求出点E到平面O
1
BC的距离为
。
点评:本题以直四棱柱为载体,考查面面垂直,考查面面角,解题的关键是利用面面垂直的判定,正确作出面面角.
举一反三
如图,在
中,
为
边上的高,
,
,沿
将
翻折,使得
,得到几何体
。
(1)求证:
;
(2)求
与平面
所成角的正切值。
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图1,在平行四边形
ABCD
中,
AB
=1,
BD
=
,∠
ABD
=90°,
E
是
BD
上的一个动点,现将该平行四边形沿对角线
BD
折成直二面角
A
-
BD
-
C
,如图2所示.
(1)若
F
、
G
分别是
AD
、
BC
的中点,且
AB
∥平面
EFG
,求证:
CD
∥平面
EFG
;
(2)当图1中
AE
+
EC
最小时,求图2中二面角
A
-
EC
-
B
的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱锥
中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知
垂直平行四边形
所在平面,若
,则平行四边形
一定是
(填形状)
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在三棱锥
中,
,
,
为
中点,
为
中点,且
为正三角形.
(1)求证:
平面
.
(2)求证:平面
⊥平面
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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