(本小题满分12分)如图,在四棱锥S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD
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(本小题满分12分)如图,在四棱锥S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分)
如图,在四棱锥S - ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA ="AB=BC" =2,AD =1.M是棱SB的中点.
(Ⅰ)求证:AM∥面SCD;
(Ⅱ)求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点N是直线CD上的动点,MN与面SAB所成的角为
,求sin
的最大值,
答案
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.
(Ⅲ)
时,
.
解析
试题分析:(Ⅰ)以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则
,
,
,
,
,
.
则
.
设平面SCD的法向量是
则
即
令
,则
,于是
.
,
.
AM∥平面SCD. …………………………(4分)
(Ⅱ)易知平面SAB的法向量为
.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为
,
则
,即
.
平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为
.………………………(8分)
(Ⅲ)设
,则
.
又,面SAB的法向量为
,
所以,
.
.
当
,即
时,
.…………………………(12分)
点评:典型题,立体几何中平行、垂直关系的证明及角的计算问题是高考中的必考题,通过建立适当的坐标系,可使问题简化。
举一反三
(本小题满分12分)如图
,已知在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
是
的中点,
是线段
上的点.
(I)当
是
的中点时,求证:
平面
;
(II)要使二面角
的大小为
,试确定
点的位置.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
如图4,已知四棱锥
,底面
是正方形,
面
,点
是
的中点,点
是
的中点,连接
,
.
(1)求证:
面
;
(2)若
,
,求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
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(本小题满分12分)如图,四棱锥P--ABCD中,PB
底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB=AD=PB=3,BC=6.点E在棱PA上,且PE=2EA.
(1)求异面直线PA与CD所成的角;
(2)求证:PC∥平面EBD;
(3)求二面角A—BE--D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分12分)如图所示,直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA
1
=2,M、N分别是A
1
B
1
、A
1
A的中点.
(1)求
的长; (2)求cos<
>的值; (3)求证:A
1
B⊥C
1
M.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分16分)
如图,在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
,
.以
的中点
为球心、
为直径的球面切
于点
.
(1)求证:PD⊥平面
;
(2)求直线
与平面
所成的角的正弦值;
(3)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
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