(本小题满分14分)如图4,已知四棱锥,底面是正方形,面,点是的中点,点是的中点,连接,.(1)求证:面;(2)若,,求二面角的余弦值.

(本小题满分14分)如图4,已知四棱锥,底面是正方形,面,点是的中点,点是的中点,连接,.(1)求证:面;(2)若,,求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
如图4,已知四棱锥,底面是正方形,,点的中点,点的中点,连接,.

(1)求证:
(2)若,,求二面角的余弦值.
答案
(1)证法1:取的中点,连接
证法2:连接并延长交的延长线于点,连接
证法3:取的中点,连接
(2)
解析
(本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识,考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法)
(1)证法1:取的中点,连接
∵点的中点,
.    …………… 1分
∵点的中点,底面是正方形,
.  …………… 2分
.
∴四边形是平行四边形.
.                …………… 3分
平面平面
.             …………… 4分
证法2:连接并延长交的延长线于点,连接
∵点的中点,
, …………… 1分
∴点的中点.         …………… 2分
∵点的中点,
.                            …………… 3分
平面
.                    …………… 4分
证法3:取的中点,连接
∵点的中点,点的中点,
.
平面
.                       ………… 1分
平面
.                 ……… 2分
平面平面
∴平面.    …………… 3分
平面
.         …………… 4分
(2)解法1:∵
.        …………… 5分

.                          ………… 6分
,垂足为,连接

.                  …………… 7分

.                         ……… 8分
是二面角的平面角.       ………… 9分
在Rt△中,,,得
…………… 10分
在Rt△中,,得
.                      …………… 11分
在Rt△中,,  ……… 12分
.              ……… 13分
∴二面角的余弦值为.         ………… 14分
解法2:∵
.
在Rt△中,,,得
…………… 5分
以点为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,
建立空间直角坐标系,               …………… 6分
.
. …………… 8分
设平面的法向量为


,得.
是平面的一个法向量.               …………… 11分
是平面的一个法向量,              …………… 12分
.                       …………… 13分
∴二面角的余弦值为.                   …………… 14分
举一反三
(本小题满分12分)如图,四棱锥P--ABCD中,PB底面ABCD.底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB=AD=PB=3,BC=6.点E在棱PA上,且PE=2EA.

(1)求异面直线PA与CD所成的角;
(2)求证:PC∥平面EBD;
(3)求二面角A—BE--D的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
(本题满分12分)如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.

(1)求的长; (2)求cos< >的值;  (3)求证:A1B⊥C1M.
题型:不详难度:| 查看答案
(本小题满分16分)
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面.以的中点为球心、为直径的球面切于点

(1)求证:PD⊥平面
(2)求直线与平面所成的角的正弦值;
(3)求点到平面的距离.
题型:不详难度:| 查看答案
已知直线及平面,它们具备下列哪组条件时,有成立(  )
A.B.
C.所成的角相等D.

题型:不详难度:| 查看答案
球内接正四棱锥的高为3,体积为6,则这个球的表面积是(   )
A.16πB.20πC.24πD.32π

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