(本题满分14分)如图,在三棱锥中,,,设顶点在底面上的射影为.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值

(本题满分14分)如图,在三棱锥中,,,设顶点在底面上的射影为.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)设点在棱上,且,试求二面角的余弦值

题型:不详难度:来源:
(本题满分14分)如图,在三棱锥中,

设顶点在底面上的射影为
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)设点在棱上,且
试求二面角的余弦值

答案
证明:(I)方法一:由平面
,则平面
,…………………………………………3分
同理可得,则为矩形,又
为正方形,故.…………………6分
方法二:由已知可得,设的中点,则
,则平面,故平面平面,则顶点
底面上的射影必在,故
(II)方法一:由(I)的证明过程知平面,过,垂足为
则易证得,故即为二面角的平面角,……………………………9分
由已知可得,则,故,则
,则,………………………………………………………………故,即二面角的余弦值为.………………………14


方法二: 由(I)的证明过程知为正方形,如图建立坐
标系,则
可得,则,易知平面
的一个法向量为,设平面的一个法向量为
,则由
,即二面角的余弦值为
解析

举一反三
正六棱锥P-ABCDEF中,G为PB的中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为(   )
A.1:1B.1:2C.2:1D.3:2

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正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的正切值是(  )
A.B.C.D.

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如图,正方体中, 的中点为的中点为,则异
面直线所成的是(  )
A.B.C.D.

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(本小题满分12分)如图,已知△ABC是正三角形,EA、CD都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a,DC=a,FBE的中点,求证:

(1) FD∥平面ABC;
(2)AF⊥平面EDB.

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是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是(  )
A.,则B.,则
C.,则共面D.相交,相交,则共面

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