解:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD,BC平面AC,∴PA⊥BC ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC (4分) (Ⅱ)取CD的中点E,则AE⊥CD,∴AE⊥AB,又PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AE建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,,0,0),P(0,0,),C(,0),D(,0) ,, (6分)
易求为平面PAC的一个法向量. 为平面PDC的一个法向量 ∴cos 故二面角D-PC-A的正切值为2. (10分) (Ⅲ)设,则 , 解得点,即 由得(不合题意舍去)或 所以当为的中点时,直线与平面所成角的正弦值为 (13分) |