证明:(Ⅰ)如答图所示,⑴设PD的中点为E,连结AE、NE,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022070251-36935.png) 由N为PD的中点知EN![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022070252-20828.png) DC, 又ABCD是矩形,∴DC AB,∴EN![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022070252-20828.png) AB 又M是AB的中点,∴EN AN, …3分 ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE,而AE 平面PAD,NM 平面PAD ∴MN∥平面PAD …4分 (Ⅱ)∵PA=AD,∴AE⊥PD, 又∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD, ∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD …6分 ∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD, ∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,又MN 平面PMC, ∴平面PMC⊥平面PCD. …8分 (Ⅲ)解:过A作AH⊥CM,交CM的延长线于H,连PH. ∵PA⊥平面ABCD,AH⊥CH,∴PH⊥CH, ∴∠PHA是二面角P-MC-A的平面角, ∴AH= … 10分 又∵Rt△MHA∽Rt△MBC, ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022070253-73084.png) ∴ …12分 ∴ … 14分 解法二:(Ⅱ)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为 轴、 轴、 轴建系 设AB="b " (b>0) 面PMC法向量 面PDC法向量![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191022/20191022070255-25271.png) ∵ ∴面PMC 面PDC …8分 (Ⅲ)面MCA法向量 ∵二面角P—MC—A是60°的二面角 ∴ ∴ …12分 ∴ … 14分 |