(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点。(I)证明:ED为异面直线与的公垂线;(II)设求二面角的大小。

(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,、分别为、的中点。(I)证明:ED为异面直线与的公垂线;(II)设求二面角的大小。

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱中,分别为的中点。
(I)证明:ED为异面直线的公垂线;
(II)设求二面角的大小。

答案

Ⅰ)设O为AC中点,连结EO,BO,则EO,所以EODB,
EOBD为平行四边行,ED∥OB。                            ……2分
∵AB=BC,∴RO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO面ABC,故BO⊥平面ACC1A1
∴ED⊥平面ACC1A1,ED⊥AC1、ED⊥CC1
∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。        ……6分
(Ⅱ)连结A1E,由AA1=AC=AB可知,A1ACC1为正方形,
∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面A1ACC1和ED平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1
∴A1E⊥平面ADC1作EF⊥AD,垂足为F,连结A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角的平面角。
不妨设AA1=2,
则AC=2,AB=,ED=OB=1,EF=
∴∠A1EF=60O
所以二面角为60O。                                    ……12分
解法二:
(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点。
设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c).
则C( ……3分


又        
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线。       ……6分
(Ⅱ)不妨设A(1,0,0)
则B(0,1,0),C(-1,0,0),A(1,0,2),

∴         BC⊥面A1AD.
又        
∴         EC⊥面C1AD.                                          ……10分
的夹角为60
所以二面角为60°。                                    ……12
解析

举一反三
棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S1、S2、S3,则(   )
A.S1<S2<S3B.S3<S2<S1C.S2<S1<S3D.S1<S3<S2

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(12分)如图7-4,已知△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且AD=1,BD=2,△ACD绕CD旋转至A′CD,使点A′与点B之间的距离A′B=

(1)求证:BA′⊥平面A′CD;
(2)求二面角A′-CD-B的大小;
(3)求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。
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已知直线,平面满足,则的(  )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

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(12分)已知四棱锥的底面为直角梯形,底面,且的中点.
(Ⅰ)证明:面
(Ⅱ)求所成的角余弦值;
(Ⅲ)求面与面所成二面角的余弦值.

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如图,空间四边形S-ABC中,各边及对角线长都相等,若E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于(    )
A.90°         B.60°         C.45°         D.30°

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