解法一: (Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意SO⊥AC。 在正方形ABCD中,AC⊥BD,所以AC⊥平面SBD, 得AC⊥SD。 (Ⅱ)设正方形边长a,则SD=。 又OD=,所以SOD=60°, 连OP,由(Ⅰ)知AC⊥平面SBD,所以AC⊥OP,且AC⊥OD,所以POD是二面角P-AC-D的平面角。由SD⊥平面PAC,知SD⊥OP,所以POD=30°, 即二面角P-AC-D的大小为30°。 (Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使BE//平面PAC 由(Ⅱ)可得PD=,故可在SP上取一点N,使PN=PD,过N作PC的平行线与SC的交点即为E。连BN。在△BDN中知BN//PO,又由于NE//PC,故平面BEN//平面PAC,得BE//平面PAC,由于SN:NP=2:1,故SE:EC=2:1。
解法二: (1)连BD,设AC交于BD于O,由题意知SO⊥平面ABCD, 以O为坐标原点,分别为x轴、y轴、z轴正方向, 建立坐标系O-xyz如图。设底面边长为a,则
(2)由题意知面PAC的一个法向量为
(3)在棱SC上存在一点E使BE//面PAC 由(2)知为面PAC的一个法向量,且设E(x,y,z)
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