如图，四棱锥中，底面是的菱形， 侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥中，底面是的菱形，
侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.

答案

由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 分别以OA、OC、OP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图，
则。
(1) 由M为PB中点，∴
,
∴PA⊥DM，PA⊥DC．  ∴PA⊥平面DMC．……………6分
(2),设平面BMC的法向量，
则由可得由可得，取。
所以可取。由(Ⅰ)知平面CDM的法向量可取……9分
。又易知二面角为钝二面角.
∴二面角的余弦值为

解析

略