(本小题满分12分)如图,已知平面,平面,△为等边三角形,,为的中点.(1) 求证:平面;(2) 求证:平面平面;(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

(本小题满分12分)如图,已知平面,平面,△为等边三角形,,为的中点.(1) 求证:平面;(2) 求证:平面平面;(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分12分)如图,已平面平面,△为等边三角形,的中点.
(1) 求证:平面
(2) 求证:平面平面
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

答案
(1) 证法一:取的中点,连.

的中点,∴.
平面平面
,∴.                  
,∴.             
∴四边形为平行四边形,则.   
平面平面
平面.                         
证法二:取的中点,连.
的中点,∴.                    
平面平面,∴.           

∴四边形为平行四边形,则.               
平面平面
平面平面.
,∴平面平面.            
平面
平面.                    
(2) 证:∵为等边三角形,的中点,∴.    
平面平面,∴.          
,故平面.                  
,∴平面.                      
平面
∴平面平面.                 (3)
解:在平面内,过,连.
∵平面平面, ∴平面.
和平面所成的角.                 
,则

R t△中,.
∴直线和平面所成角的正弦值为.               
方法二:设,建立如图所示的坐标系

.
的中点,∴.             
(1) 证:,       
平面,∴平面
(2) 证:∵,       
,∴.    
平面,又平面
∴平面平面.                  
(3) 解:设平的法向量为,由可得:
,取.     
,设和平面所成的角为,则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.           
解析

举一反三
已知直线m、l和平面α、β,则α⊥β的充分条件是
A.m⊥l,m //α,l//βB.m⊥l,α∩β=m,lα
C.m // l,m⊥α,l⊥βD.m // l,l⊥β,mα

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设 l、m、n 为不同的直线,为不同的平面,则正确的命题是
A.若,l⊥,则 l ∥
B.若,则 l⊥
C.若 l⊥m,m⊥n,则 l ∥n
D.若m⊥,n∥,则 m⊥n

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(本题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问6分,(Ⅲ)小问2分.)
如图所示,直二面角中,四边形是边长为的正方形,上的点,且⊥平面
(Ⅰ)求证:⊥平面
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离.

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侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则此棱锥的全面积是
        B        C        D 都不对
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若直线a和直线b是异面直线,直线b和c异面直线 ,则直线a和c(  )
A 平行       B 异面     C 相交   D以上都有可能 
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