解法一:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC. 又,∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC.………… (Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC, ∴, 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC, ∴DE⊥平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角, ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB, ∴△ABP为等腰直角三角形,∴, ∴在Rt△ABC中,,∴. ∴在Rt△ADE中,,
∴与平面所成的角的余弦值为.………… (Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC, 又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP为二面角的平面角, ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴. ∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时, 故存在点E使得二面角是直二面角. ………… 解法二:如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系, 设,由已知可得 . (Ⅰ)∵, ∴,∴BC⊥AP. 又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.………… (Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点, ∴, ∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角, ∵, ∴. ∴与平面所成的角的余弦值为.……… (Ⅲ)同解法1. |