方法一:(1) 证明:当为的中点时,,从而为等腰直角三角形, 则,同理可得,∴,于是,…2分 又,且,∴, …………………4分 ∴,又,∴. …………………………6分 (也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理) (还可以分别算出PE,PD,DE三条边的长度,再利用勾股定理的逆定理得证,也给满分) (2) 如图过作于,连,则,…7分
∴为二面角的平面角. ……………9分 设,则. …………11分
于是 ……………………………13分 ,有解之得。 点在线段BC上距B点的处. ………………………………14分 方法二、向量方法.以为原点,所在直线为 轴,建立空间直角坐标系,如图. …………………………1分
(1)不妨设,则, 从而,………………………5分 于是, 所以所以 ………………………6分 (2)设,则, 则 .……………………………………10分 易知向量为平面的一个法向量.设平面的法向量为, 则应有 即解之得,令则,, 从而,…………………………………………………………12分 依题意,即, 解之得(舍去),……………………………………13分 所以点在线段BC上距B点的处 .………………………………14分 |