解法一:(Ⅰ)证明:取PA的中点N,连结BN、NM,
在△PAD中,,且; 又,且, 所以MNBC,即四边形BCMN为平行四边形,. 又平面PAB,平面PAB,故平面PAB. ……5分 (Ⅱ)如图,连结AC,则二面角B—PC—D的大小等于二面角B—PC—A的大小与二面角D—PC—A的大小的和. 由知,又,所以平面PAC,即平面P平面PAC,所以二面角D—PC—A的大小为90°. 于是二面角B—PC—A的大小为60°,过B作于E,过E作于F,连结BF,由三垂线定理知为二面角B—PC—A的平面角. ……9分 在Rt△ABC中,,又易知△PBC为Rt△,且, ∴,解得 ……11分 所以四棱锥P—ABCD的体积为 ……12分
解法二:以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,). ……2分 (Ⅱ)由M为PD中点知M的坐标为(0,1,),所以. 又平面PAB的法向量可取为,而,即. 又平面PAB,所以平面PAB. ……6分 (Ⅱ)设平面PBC的法向量为. ∵ ∴ 不妨取,则,∴ 又设平面PCD的法向量为. ∵ ∴ 不妨取,则 ∴. ……9分 由的方向可知,解得. ……11分 所以四棱锥P—ABCD—体积为. ……12分 |