如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证:CD⊥PD;(2)求证:EF∥平面PAD.

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.(1)求证:CD⊥PD;(2)求证:EF∥平面PAD.

题型:不详难度:来源:
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面,E、F分别是AB、PC的中点.
(1)求证:CD⊥PD;
(2)求证:EF∥平面PAD.
答案
 (1)∵PA⊥平面ABCD,而CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,又CD⊥AD,AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD.
(2)取CD的中点G,连接EG、FG.
∵E、F分别是AB、PC的中点,
∴EG∥AD,FG∥PD,
∴平面EFG∥平面PAD,
又∵EF⊂平面EFG,
∴EF∥平面PAD.
解析

举一反三
(本小题满分14分)
如图,四面体ABCD中,O,E分别为BD,BC的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=

(1)求证:AO⊥平面BCD;
(2)求点E到平面ACD的距离.
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空间内五个点中的任意三点都不共线,由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥,则这五个点最多可以确定________个平面.
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在棱长为的正方体中,分别是棱的中点.

(Ⅰ)证明:平面
(Ⅱ)证明:
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
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已知正四面的棱长为1,若以的方向为左视方向,则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为          .
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如图,直二面角D—AB—E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE=EB,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.

(Ⅰ)求证:AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求点D到平面ACE的距离。
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