证明:(I) 由题设知下列各点的坐标A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0), D (0, 2, 0), E (0, 2, 1), B1(2, 0, 2). ∵O是正方形ABCD的中心,∴O (1, 1, 0). ∴= (-1, 1, -2),=" (2," 2, 0),=" (0," 2, 1).2分 ∴·= (-1, 1, -2)·(2, 2, 0) = -1·2 + 1·2-2·0 = 0. ·= (-1, 1, -2)·(0, 2, 1) = -1·0 + 1·2-2·1 = 0. ∴⊥,⊥, 即B1O ⊥AC,B1O⊥AE, ∴B1O⊥平面ACE. 4分 (II) 由F点在AE上,可设点F的坐标为F (0, 2l, l), 5分 则= (-2, 2l, l-2). 6分 ∵⊥, ∴·= (-2, 2l, l-2)·(0, 2, 1) = 5l-2 = 0, 7分 ∴ l = , ∴F (0, , ). 8分 (III) ∵B1O⊥平面EAC,B1F⊥AE,连结OF,由三垂线定理的逆定理得OF⊥AE. ∴∠OFB1即为二面角B1-EA-C的平面角. 9分 ∴ || = = . 10分 又= (-2, ,-), ∴ | | = = . 11分 在Rt△B1OF中,sin∠B1FO = = . 故二面角B1-EA-C的正弦值为. 12分 |