四面体ABCD中，AB=BC==CD=DB，点A在面BCD上的射影恰是CD的中点，则对棱BC与AD所成的角等于（   ） A．B．C．D．

题型：不详难度：来源：

四面体ABCD中，AB=BC==CD=DB，点A在面BCD上的射影恰是CD的中点，则对棱BC与AD所成的角等于（   ）

A．

B．

C．

D．

答案

B. 

解析

AB=BC=CD=DB.所以△BCD是等边三角形。
△ABD与△ABC△ADC都是等腰三角形
因为E是A的投影，所以AE垂直于△BCD所在平面
因为△ADC经过AE
所以△ADC与△BCD所在的平面是相互垂直的两个平面
这样，由于AE垂直于BE，AB=BC=DB
△ABE与△ADE与△ACE是全等三角形
所以AE=DE=EC，所以△ADC是直角等腰三角形
现在过A做DC的平行线AF，并使DC与AF等长
连接CF，这样CF与AD平行
所以AD与BC所形成的角度和CF与BC所形成的角度相等
连接B、C与AF中点G形成BG、CG
设AE长度为1，则AC=√2， AB=AC=2
因为G为AF中点，AG=GF=1
连接EG
因为BE垂直于EG
BE=√3，EG=√2，所以BG=√5
因为BC^2+CG^2=BG^2，所以在△BGC中∠BGC是直角
又因为AB^2+AG^2=BG^2，所以△ABG是直角三角形△ABF是等边直角三角形
BF=2√2
这样，在△BCF中，BC=2，CF=√2，BF=2√2
所以问题归结为求CF与BC所形成的角度∠C的过程
已知三边求一角的过程
由余弦定理知
BF^2= BC^2+CF^2-2BC*CF*cos∠C
求得角C为