(1)证明:以B为原点,BA,BC,BB1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设棱柱的高为h, 则A(2,0,0),C(0,2,0),G(1,1,0),A1(2,0,h)
所以=(2,0,h),=(2,-2,0), 所以cos<,>==, 解得h=2, 所以E(0,0,1),A1(2,0,2), 所以=(-2,0,-1). 因为F是B1C1上的动点,设F(0,y,2), 所以=(-1,y-1,2), 所以•=0, 所以A1E⊥GF. (2)因为平面A1CC1的一个法向量是=(1,1,0). 设平面A1B1C的一个法向量=(x,y,z), 因为=(-2,2,-2),=(-2,0,0), 所以,可解得一个法向量为=(0,1,1), 所以cos<,>=, 所求角为60°. (3)易求得面AB1C的法向量=(1,1,1), 又因为=(2,0,-1), 所以E到面AB1C的距离为d==. |