如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AD,点Q是PA的中点,PA=4,AB=2.(1)求证:PC⊥BD;(2)求点Q到BD的距离;(3)求

如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AD,点Q是PA的中点,PA=4,AB=2.(1)求证:PC⊥BD;(2)求点Q到BD的距离;(3)求

题型:不详难度:来源:
如图,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥AD,点Q是PA的中点,PA=4,AB=2.
(1)求证:PC⊥BD;
(2)求点Q到BD的距离;
(3)求点A到平面QBD的距离.魔方格
答案
(1)
魔方格
连接AC
∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD(2分)
∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴PC⊥BD(4分)
(2)设AC∩BD=O,连接OQ
∵Q为PA中点,O为AC中点
∴OQPC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的长就是点Q到BD的距离(7分)
∵AB=2,PA=4∴AC=2


2

OA=


2
,QA=2
OQ=


QA2+OA2
=


6

即点Q到BD的距离为


6
(9分)
(3)过A作AH⊥OQ于H
∵BD⊥QO,BD⊥PA
∴BD⊥平面AOQ∴BD⊥AH
又AH⊥OQ
∴AH⊥平面QBD
∴AH的长就是点A到平面QBD的距离(12分)
在△QAO中,OQ=


6
,AQ=2,AO=


2

AH=
AQ ? AO
OQ
=


2


6
=
2


3
3
(14分)
举一反三
从点P出发三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若球的体积为
4
3
π
,则OP的距离为______.
题型:不详难度:| 查看答案
用一个边长为


2
的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,半径为1的鸡蛋(视为球体)放入其中,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为______.魔方格
题型:海口模拟难度:| 查看答案
如图边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直,M,Q分别为PC,AD的中点.
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求证:PA平面MBD;
(3)试问:在线段AB上是否存在一点N,使得平面PCN⊥平面PQB?若存在,试指出点N的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
三个平面两两互相垂直,它们的三条交线交于一点O,P到三个平面的距离分别是3、4、5,则OP的长为 ______
题型:不详难度:| 查看答案
有一条长度为1的线段EF,其端点E、F在边长为3的正方形ABCD的四边滑动,当F绕着正方形的四边滑动一周时,EF的中点M所形成的轨迹长度最接近于(  )
A.8B.11C.12D.10
魔方格
题型:西安模拟难度:| 查看答案
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