如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,(Ⅰ)求点P到平
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如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,(Ⅰ)求点P到平
题型:高考真题
难度:
来源:
如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°,
(Ⅰ)求点P到平面ABCD的距离;
(Ⅱ)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
答案
解:(Ⅰ)如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O,
连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE,
∵AD⊥PB,
∴AD⊥OB,
∵PA=PD,
∴OA=OD,于是OB平分AD,点E为AD的中点,
所以PE⊥AD,
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD 所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°,
由已知可求得PE=
,
∴PO=PE·sin60°=
,
即点P到平面ABCD的距离为
。
(Ⅱ)如图,取PB的中点G,PC的中点F,
连结EG、AG、GF,
则AG⊥PB,FG∥BC,FG=
BC,
∵AD⊥PB,
∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角,
∵AD⊥面POB,
∴AD⊥EG,
又∵PE=BE,
∴EG⊥PB,且∠PEG=60°,
在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=
,
在Rt△PEG中,EG=
AD=1,
于是tan∠GAE=
,
又∠AGF=π-∠GAE,
所以所求二面角的大小为π-arctan
。
举一反三
已知平面α⊥β,α∩β=l,P是空间一点,且P到α、β的距离分别是1、2,则点P到l的距离为( )。
题型:浙江省高考真题
难度:
|
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如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC
1
F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC
1
=3,BE=1,
(Ⅰ)求BF的长;
(Ⅱ)求点C到平面AEC
1
F的距离。
题型:湖北省高考真题
难度:
|
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已知正四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
,AB=1,AA
1
=2,点E为CC
1
中点,点F为BD
1
中点。
(1)证明EF为BD
1
与CC
1
的公垂线;
(2)求点D
1
到面BDE的距离。
题型:辽宁省高考真题
难度:
|
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已知球O的半径为1,A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离为
,则球心O到平面ABC的距离为
[ ]
A、
B、
C、
D、
题型:高考真题
难度:
|
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如图,已知四棱锥P-ABCD,PB⊥AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
题型:高考真题
难度:
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