已知正四面体ABCD的棱长为a,点O是△BCD的中心,点M是CD中点.(1)求点A到面BCD的距离;(2)求AB与面BCD所成角的正弦值.
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已知正四面体ABCD的棱长为a,点O是△BCD的中心,点M是CD中点.(1)求点A到面BCD的距离;(2)求AB与面BCD所成角的正弦值.
题型:不详
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来源:
已知正四面体ABCD的棱长为a,点O是△BCD的中心,点M是CD中点.
(1)求点A到面BCD的距离;
(2)求AB与面BCD所成角的正弦值.
答案
(1)∵棱长为a的正四面体中
AB=BC=CD=BD=AC=AD=a
在等边三角形BCD中,CD边的上高BM=
3
2
a
过A作底面BCD上的高,则垂足O为底面BCD的重心
则BO=
2
3
BM=
3
3
a
则AO=
AB
2
-
BO
2
=
6
3
a,
∴点A到面BCD的距离OA=
6
3
a
(说明:直接由公式计算得出正确结果不扣分)…6分
(2)由(1)可得∠ABO即为AB与面BCD所成角
在Rt△OAB中,OA=
6
3
a,AB=a
∴sin∠ABO=
OA
AB
=
6
3
即AB与面BCD所成角的正弦值为
6
3
举一反三
如图,正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为AB中点,F为正方形BCC
1
B
1
的中心.
(1)求直线EF与平面ABCD所成角的正切值;
(2)求异面直线A
1
C与EF所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知球O的表面积为4π,A、B、C三点都在球面上,且任意两点间的球面距离为
π
2
,则OA与平面ABC所成角的正切值是______.
题型:不详
难度:
|
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正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,对角线AC
1
与底面ABCD所成角的正切值等于( )
A.1
B.
2
C.
2
2
D.
3
3
题型:不详
难度:
|
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如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N分别是BC和A
1
C
1
的中点,求MN与CC
1
所成角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知正△ABC的顶点A在平面α上,顶点B、C在平面α的同一侧,D为BC的中点,若△ABC在平面α上的投影是以A为直角顶点的三角形,则直线AD与平面α所成角的正弦值的范围为______.
题型:不详
难度:
|
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