如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1;(Ⅲ)若BB

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1;(Ⅲ)若BB

题型:不详难度:来源:
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求证:AC1平面CDB1
(Ⅲ)若BB1=4,求CB1与平面AA1B1B所成角的正切值.
答案
(Ⅰ) 证明:∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱,
∴C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC,
∵AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC⊥BC,
又C1C∩BC=C,
∴AC⊥平面CC1B1B,
∵BC1⊂平面CC1B1B,
∴AC⊥BC1
(Ⅱ)证明:令BC1与CB1的交点为E,连结DE.
∵D是AB的中点,E为BC1的中点,
∴DEAC1
又∵AC1⊄平面CDB1,DE⊂平面CDB1
∴AC1平面CDB1
(Ⅲ)作CD⊥AB于D,连B1D,则
∴CD⊥BB1,AB∩BB1=B,
∴CD⊥平面A1B,
∴∠CB1D即为 CB1与平面AA1B1B所成角,
在直角△ABC中,由等面积可得CD=
12
5

∵BB1=4,BC=4,
∴CB1=4


2

∴B1D=
4


41
5

∴tan∠CB1D=
CD
B1D
=
3


41
41

举一反三
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为(  )
A.


2
2
B.


15
5
C.


6
4
D.


6
3
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正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1与平面BB1D1D所成角的大小是______.
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已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则直线AB与平面BDA1所成角的正弦值等于______.
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如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中E为AB的中点.
(1)求直线A1C1与平面A1B1CD所成角大小;
(2)试确定直线BC1与平面EB1D的位置关系,并证明你的结论;
(3)证明:平面EB1D⊥平面B1CD.
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正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点.
求:(1)CM与D1N所成角的余弦值.
(2)D1N与平面MBC所成角的余弦值.
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