直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD
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直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD1的中点,F为AB中点.(1)求证:EF∥平面ADD
题型:不详
难度:
来源:
直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,底面ABCD是等腰梯形,AB
∥
CD,AB=2AD=2DC=2,E为BD
1
的中点,F为AB中点.
(1)求证:EF
∥
平面ADD
1
A
1
;
(2)若
B
B
1
=
2
2
,求A
1
F与平面DEF所成角的正弦值.
答案
(1)证明:连接AD
1
,在△ABD
1
中
∵E是BD
1
的中点,F是BA中点,
∴EF
∥
AD
1
又EF⊄平面ADD
1
A
1
,AD
1
⊂平面ADD
1
A
1
∴EF
∥
平面ADD
1
A
1
.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系D-xyzz(DG为AB边上的高)
则有A
1
(
3
2
,-
1
2
,
2
2
),F(
3
2
,
1
2
,0),D
1
(0,0,
2
2
),
B(
3
2
,
3
2
,0),
∴E(
3
4
,
3
4
,
2
4
),
设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z),
由,
n•
DE
=0
n•
DE
=0
得
3
4
x+
3
4
y+
2
4
z=0
3
2
x+
1
2
y=0
取x=1解得
y=-
3
, z=
6
∴法向量
n=(1,-
3
,
6
)
∵
A
1
F
=(0,1,-
2
2
),
设A
1
F与平面DEF所成的角为θ,则
sinθ=|cos〈
A
1
F
,n>|=
|
A
1
F
•n|
|
A
1
F
|•|n|
=
|0×1+1×(-
3
)+(-
2
2
)×
6
|
3
2
×
10
=
2
5
5
∴A
1
F与平面DEF所成角的正弦值为
2
5
5
.
举一反三
如图,在组合体中,ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是一个长方体,P-ABCD是一个四棱锥.AB=2,BC=3,点P∈平面CC
1
D
1
D且
PD=PC=
2
.
(Ⅰ)证明:PD⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PA与平面ABCD所成的角的正切值;
(Ⅲ)若AA
1
=a,当a为何值时,PC
∥
平面AB
1
D.
题型:佛山一模
难度:
|
查看答案
已知长方体AC
1
中,棱AB=BC=3,棱BB
1
=4,连接B
1
C,过B点作B
1
C的垂线交CC
1
于E,交B
1
C于F.
(1)求证A
1
C⊥平面EBD;
(2)求点A到平面A
1
B
1
C的距离;
(3)求平面A
1
B
1
C与平面BDE所成角的度数;
(4)求ED与平面A
1
B
1
C
1
所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别是AB,BB
1
的中点,
(1)求DF与平面ABCD成角的正切值;
(2)求证:EF⊥平面A
1
D
1
B.
题型:不详
难度:
|
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把正方形ABCD沿对角线BD折叠后得到四面体ABCD,则AC与平面BCD所成角不可能是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
题型:黄埔区一模
难度:
|
查看答案
(理)如图,在矩形ABCD中,
AB=3
3
,BC=3,沿对角线BD将△BCD折起,使点C移到点C",且C"在平面ABD的射影O恰好在AB上.
(1)求证:BC"⊥面ADC";
(2)求二面角A-BC"-D的大小;
(3)求直线AB和平面BC"D所成的角.
题型:宁波模拟
难度:
|
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